lunes, 3 de marzo de 2014

Combinatoria

Un problema resuelto

1-¿Cuántos números de tres cifras podemos formar con los dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ?
A.   ¿Cuántos de estos son impares? 

B. ¿Cuántos son pares? 
C. ¿Cuántos son divisible por cinco? 
D. ¿Cuántos hay mayores que seiscientos?
E. ¿ Menores que 300?
F. ¿ Cuantas agrupaciones de 15 elementos podemos formar?


SOLUCIÓN
             1-    S. R  V10,3. Pero debemos restarles los números que comienzan en 0, como 012, 025, que   son equivalentes a 12, 25 etc, por lo tanto le restamos las V9,2, ya que no consideramos al 0. entonces:      
 V10,3- V9,2 =  10 . 9 . 8 – 9 . 8 = 648
CR: Hacemos el mismo razonamiento, pero considerando la totalidad de los dígitos, ya que podemos repetirlos     VR10,3  -  VR10,2 =1000-100= 900

ASon los números que deben terminar en 1,3, 5 ,7 o 9.
       Los que terminan en 1:  V9,2 
      Pero como pueden ser 5 los casos de la última cifra: 5 . V9,2  = 360   y restamos los que comienzan   en 0: V8,1.  Y también hay 5 casos por lo tanto le restamos 
        5. V8,1= 40 . 
       Es decir que hay 360-40=320 números impares.
       CR: 5. (VR10,2 – V10,1) = 5. (10. 9 -10 . 1) = 450
       (En este caso siempre elegimos sobre 10    dígitos, pues pueden repetirse.)
B-     Es similar al anterior, sólo que terminarán en0, 2, 4, 6,8. Es decir que tendremos: 5 . V9,2  = 360  números pares de 3 cifras. Debemos restar los que comienzan con 0, que en este caso serán solo en 4 ocasiones, pues cuando el número termina en 0, no puede empezar con 0, pues no podemos repetir las cifras: 4. V8,1= 38. Es decir que hay 360 – 32= 328 números pares de 3 cifras
CR=  igual que en el punto A
C-      En este caso, son los números terminados en 5 y en 0, teniendo las mismas consideraciones anteriores:
2.V9,2 – V8,1=2.9.8 – 8=138
CR= 2.(VR10,2-V10,1)= 180   ( se consideran todos los números pues pueden repetirse los dígitos, y sólo consideramos de a 2, pues ya tenemos fijo el último dígito)
                       D-     Son todos los que comienzan con 6, 7, 8 y 9.
            4.V9,2= 288
           4.VR 10, 2= 400, al que le restamos 1, que es el que termina en 00= 399
E-      Ïdem D, pero con los que empiezan con 1 y 2.
             2.V9,2= 144
             2.VR 10, 2= 20
      F-  En este caso son combinaciones, pq no consideramos el orden del número, sino como un mero           elemento.
                CR10,15=C10+15-1, 15=C24,15=1307504
                                                                                                                                La Profe