Combinatoria

Un problema resuelto

1-¿Cuántos números de tres cifras podemos formar con los dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ?

A.   ¿Cuántos de estos son impares? 

B. ¿Cuántos son pares? 

C. ¿Cuántos son divisible por cinco? 

D. ¿Cuántos hay mayores que seiscientos?

E. ¿ Menores que 300?

F. ¿ Cuantas agrupaciones de 15 elementos podemos formar?

SOLUCIÓN

             1-    S. R  V_10,3. Pero debemos restarles los números que comienzan en 0, como 012, 025, que   son equivalentes a 12, 25 etc, por lo tanto le restamos las V_9,2, ya que no consideramos al 0. entonces:      

 V_10,3- V_9,2 =  10 . 9 . 8 – 9 . 8 = 648

CR: Hacemos el mismo razonamiento, pero considerando la totalidad de los dígitos, ya que podemos repetirlos     VR_10,3  -  VR_10,2 =1000-100= 900

A- Son los números que deben terminar en 1,3, 5 ,7 o 9.

       Los que terminan en 1:  V_9,2 

      Pero como pueden ser 5 los casos de la última cifra: 5 . V_9,2  = 360   y restamos los que comienzan   en 0: V_8,1.  Y también hay 5 casos por lo tanto le restamos 

        5. V_8,1= 40 . 

       Es decir que hay 360-40=320 números impares.

       CR: 5. (VR_10,2 – V_10,1) = 5. (10. 9 -10 . 1) = 450

       (En este caso siempre elegimos sobre 10    dígitos, pues pueden repetirse.)

B-     Es similar al anterior, sólo que terminarán en0, 2, 4, 6,8. Es decir que tendremos: 5 . V_9,2  = 360  números pares de 3 cifras. Debemos restar los que comienzan con 0, que en este caso serán solo en 4 ocasiones, pues cuando el número termina en 0, no puede empezar con 0, pues no podemos repetir las cifras: 4. V_8,1= 38. Es decir que hay 360 – 32= 328 números pares de 3 cifras

CR=  igual que en el punto A

C-      En este caso, son los números terminados en 5 y en 0, teniendo las mismas consideraciones anteriores:

2.V_9,2 – V_8,1=2.9.8 – 8=138

CR= 2.(VR_10,2-V_10,1)= 180   ( se consideran todos los números pues pueden repetirse los dígitos, y sólo consideramos de a 2, pues ya tenemos fijo el último dígito)

                       D-     Son todos los que comienzan con 6, 7, 8 y 9.

            4.V_9,2= 288

           4.VR _{10, 2}= 400, al que le restamos 1, que es el que termina en 00= 399

E-      Ïdem D, pero con los que empiezan con 1 y 2.

             2.V_9,2= 144

             2.VR _{10, 2}= 20

      F-  En este caso son combinaciones, pq no consideramos el orden del número, sino como un mero           elemento.

                CR_10,15=C_{10+15-1, 15}=C_24,15=1307504

                                                                                                                                La Profe