MATEMÁTICA DISCRETA

RELACIONES DE EQUIVALENCIA, EN CONJUNTOS FINITOS

Dos ejemplos distintos. Una, no es de equivalencia, la otra sí.

1° Ejemplo:

Dado C = {a, b, c} y la relación R = {(a, a), (a, b), (b, a)}, se pide: 

a) Dibujar su dígrafo y su matriz.

b) Determinar qué propiedades cumple. 

c) ¿Es una relación de equivalencia? 

d) Encontrar el conjunto cociente.

a) Digrafo:                                                                           Matriz

b) Determinar qué propiedades cumple. 

• Reflexiva: No es, puesto que b R b y c R c. 

• Simétrica: Sí es, pues toda flecha de ida tiene otra de vuelta. 

• Antisimétrica: No es, ni en sentido amplio ni estricto, pues en el caso de a R b, también  b R a y a ≠ b. 

• Transitiva: No es, pues aunque a R b, y b R a implicaría a R a, y efectivamente, a está relacionado con a, sin embargo, también ocurre que b R a y a R b ⇒ b no está relacionado con b.

c) ¿Es una relación de equivalencia? 

No es una relación de equivalencia, pues únicamente cumple la propiedad simétrica, pero no así la reflexiva ni la transitiva. 

d) Encontrar el conjunto cociente. 

El conjunto cociente no puede hallarse en este caso, ya que la relación no es de equivalencia y, por tanto, carece de sentido este concepto.

2° Ejemplo

Sea la relacion R definida en A={xEZ / 0<|x| < 5}:

Se pide:

a) Dar R por extensión  y  su matriz.

b) Determinar qué propiedades cumple. 

c) ¿Es una relación de equivalencia? 

d) Encontrar el conjunto cociente. 

A={1,2,3,4}

a)R={(1,1); (2,2);(3,3);(4,4);(1,4);(4,1)}

b) Reflexiva, ya que la diagonal principal está formada por 1.

Simétrica: Sí, pues es una matriz simétrica. Es decir M_R=(M_R)^T

^{Transitiva: Hacemos MXM, de donde resulta que} 

M X M≤M 

de donde resulta que , por

 lo tanto es transitiva.

c) Al cumplir R las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, R es una relación de equivalencia.

d) Clases de equivalencia:

Clase del 1: todos los elementos que están relacionados con él:

Clase del 2: ídem anterior:  

Clase del 3; ídem anterior:     

                        

Conjunto cociente: conjunto formado por todas las clases de equivalencia:

Si hacemos el dígrafo de la relación, también nos daremos cuenta que es una relación de equivalencia, pues al relacionar los elementos, el conjunto queda dividido en distintos “compartimentos” donde cada uno es una clase.

Espero les haya sido de ayuda este apunte!!

                                                                                     La Profe