2° Secundaria

Números primos- Divisibilidad

Hola!!! 

Acá les dejo para que practiquen un poquito y refresquen conceptos del año pasado!!!

Saludos!!

La Profe

3° Secundaria

Operaciones con números enteros

Hola!!

Lo prometido es deuda...así que acá les dejo unos ejercicios, simples, con números enteros (positivos y negativos....lo recuerdan?).

Saludos y muy buen fin de semana en familia!! 

                                                                                        La Profe

MATEMÁTICA DISCRETA

RELACIONES DE EQUIVALENCIA, EN CONJUNTOS FINITOS

Dos ejemplos distintos. Una, no es de equivalencia, la otra sí.

1° Ejemplo:

Dado C = {a, b, c} y la relación R = {(a, a), (a, b), (b, a)}, se pide: 

a) Dibujar su dígrafo y su matriz.

b) Determinar qué propiedades cumple. 

c) ¿Es una relación de equivalencia? 

d) Encontrar el conjunto cociente.

a) Digrafo:                                                                           Matriz

b) Determinar qué propiedades cumple. 

• Reflexiva: No es, puesto que b R b y c R c. 

• Simétrica: Sí es, pues toda flecha de ida tiene otra de vuelta. 

• Antisimétrica: No es, ni en sentido amplio ni estricto, pues en el caso de a R b, también  b R a y a ≠ b. 

• Transitiva: No es, pues aunque a R b, y b R a implicaría a R a, y efectivamente, a está relacionado con a, sin embargo, también ocurre que b R a y a R b ⇒ b no está relacionado con b.

c) ¿Es una relación de equivalencia? 

No es una relación de equivalencia, pues únicamente cumple la propiedad simétrica, pero no así la reflexiva ni la transitiva. 

d) Encontrar el conjunto cociente. 

El conjunto cociente no puede hallarse en este caso, ya que la relación no es de equivalencia y, por tanto, carece de sentido este concepto.

2° Ejemplo

Sea la relacion R definida en A={xEZ / 0<|x| < 5}:

Se pide:

a) Dar R por extensión  y  su matriz.

b) Determinar qué propiedades cumple. 

c) ¿Es una relación de equivalencia? 

d) Encontrar el conjunto cociente. 

A={1,2,3,4}

a)R={(1,1); (2,2);(3,3);(4,4);(1,4);(4,1)}

b) Reflexiva, ya que la diagonal principal está formada por 1.

Simétrica: Sí, pues es una matriz simétrica. Es decir M_R=(M_R)^T

^{Transitiva: Hacemos MXM, de donde resulta que} 

M X M≤M 

de donde resulta que , por

 lo tanto es transitiva.

c) Al cumplir R las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, R es una relación de equivalencia.

d) Clases de equivalencia:

Clase del 1: todos los elementos que están relacionados con él:

Clase del 2: ídem anterior:  

Clase del 3; ídem anterior:     

                        

Conjunto cociente: conjunto formado por todas las clases de equivalencia:

Si hacemos el dígrafo de la relación, también nos daremos cuenta que es una relación de equivalencia, pues al relacionar los elementos, el conjunto queda dividido en distintos “compartimentos” donde cada uno es una clase.

Espero les haya sido de ayuda este apunte!!

                                                                                     La Profe

3° SECUNDARIA

LECTURAS MATEMÁTICAS

Hola!! 

Empezamos con la primera de las varias lecturas que tendremos durante este año.

Hoy, leemos, de Pablo Neruda:

ODA A LOS NÚMEROS

Qué sed de saber cuánto!
Qué hambre
de saber cuántas
estrellas tiene el cielo!

Nos pasamos la infancia
contando piedras, plantas,
dedos, arenas, dientes,
la juventud contando
pétalos, cabelleras.
Contamos los colores, los años,
las vidas y los besos,
en el campo
los bueyes, en el mar
las olas. Los navíos
se hicieron cifras que se fecundaban.
Los números parían. Las ciudades
eran miles, millones,
el trigo centenares
de unidades que adentro
tenian otros números pequeños,
más pequeños que un grano.

El tiempo se hizo número.
La luz fue numerada y por más que corrió con el sonido
fue su velocidad un 37.
Nos rodearon los números.
Cerrábamos la puerta, de noche, fatigados,
llegaba un 800,
por debajo,
hasta entrar con nosotros en la cama,
y en el sueño
los 4000 y los 77
picándonos la frente
con sus martillos o sus alicates.
Los 5
agregándose hasta entrar en el mar o en el delirio,
hasta que el sol saluda con su cero
y nos vamos corriendo
a la oficina, al taller,
a la fábrica,
a comenzar de nuevo el infinito
número 1 de cada día.
Tuvimos, hombre, tiempo
para que nuestra sed
fuera saciándose,
el ancestral deseo
de enumerar las cosas
y sumarlas,
de reducirlas hasta
hacerlas polvo,
arenales de números.
Fuimos
empapelando el mundo
con números y nombres,
pero
las cosas existian,
se fugaban
del número,
enloquecían en sus cantidades,
se evaporaban
dejando su olor o su recuerdo
y se quedaban los números vacíos.

Por eso,
para ti
quiero las cosas.
Los números
que se váyan a la cárcel,
que se muevan
en columnas cerradas
procreando
hasta darnos la suma
de la totalidad de infinito.
Para ti sólo quiero
que aquellos
números del camino
te defiendan
y que tu los defiendas.
La cifra semanal de tu salario
se desarrolle hasta cubrir tu pecho.
Y del número 2 en que se enlazan
tu cuerpo y el de la mujer amada
salgan los ojos pares de tus hijos
a contar otra vez
las antiguas estrellas
y las innnumerables
espigas
que llenarán la tierra transformada.

COMPRENSIÓN DEL TEXTO

De acuerdo con el texto anterior, respondan las siguientes preguntas de selección múltiple con única respuesta. Consulten con la profesora de lengua, si es necesario. También pueden investigar en la web, el significado de algunas definiciones.

1.     De las siguientes definiciones, la que más se acerca a lo que es una oda es:

a. Composición poética del género lírico dividida generalmente en estrofas, de tono elevado y  extensión variable.

b. Poema breve, casi siempre de diecisiete sílabas distribuidas en tres versos, de cinco, siete y cinco sílabas respectivamente.

c. Obra en verso, o perteneciente por su género a la esfera de la poesía aunque esté escrita en prosa.

d. Composición poética que consta de 14 versos, generalmente endecasílabos, distribuidos en dos cuartetos y dos tercetos:

2.     En la primera estrofa, el poeta expresa:

a. El hambre de la humanidad.

b. El deseo de saber contar.

c. La necesidad de saber astronomía.

d. La importancia del álgebra.

3.     Según el poeta, hombres y mujeres nos pasamos la infancia y la juventud.

a. Lamentando el poco dominio que tenemos de los números.

b. Preguntándonos para qué sirven los números.

c. Interactuando con números y cosas.

d. Enredados en la cabellera de la persona amada.

4.  En la expresión “el tiempo se hizo número”, el poeta expresa:

a. Que el tiempo pasa con gran facilidad.

b. Que los relojes fueron hechos con números romanos.

c. Que fue posible cuantificar el tiempo.

d. Que todos tenemos necesidad del tiempo.

5. El poeta, al parecer, le escribe a:

      a. Una pareja. b. Un hombre.

       c. Una mujer. d. Su esposa.

6. En la expresión “picándonos la frente”, el poeta aduce a:

a. Las cifras son muy altas.

b. La forma de los sietes.

c. La dificultad de los números.

d. La enfermedad de su amada.

7. La intención final del poeta con su “Oda a los Números” es:

a. Mostrar su indiferencia por los números

b. Rescatar la importancia de los números.

c. Dar a conocer los números.

d. Dejar clara la inutilidad de los números.

8. El recurso expresivo: “Los números parían” es:

a. Una metáfora.

b. Una personificación.

c. Un símil.

d. Una antítesis.

9. La definición más precisa para número es:

a. Símbolo matemático.

b. Expresión matemática que puede ser relacionada con letras y signos.

c. entidad abstracta que representa una cantidad.

d. Código utilizado por algunas personas para acompañar sus afirmaciones. 

10. La palabra vacíos en la frase: “se quedaban los números vacíos” es:

a. Un adverbio.

b. Un sustantivo.

c. Un verbo.

d. Una conjunción.

11. En el razonamiento de G.G Hardy: “Un matemático, como un pintor o un poeta es un creador de modelos. Si sus modelos son más permanentes que los de ellos es porque están hechos de ideas. Un pintor hace modelos con formas y colores y un poeta con palabras. Una pintura puede incluir una ‘idea’, pero la idea es generalmente trillada y sin importancia. En la poesía, las ideas tienen bastante más importancia”, podemos concluir que:

a. Los modelos de los matemáticos permanecen más porque están hechos de ideas.

b. Los modelos de los matemáticos carecen de importancia porque no están hechos de imágenes.

c. Los modelos del pintor son más permanentes porque están hechos de ideas.

d. Los modelos de los poetas son más permanentes porque son más bellos que los modelos de los matemáticos.

12. El matemático Karl Weierstrass afirmó: “Un matemático que no tenga también algo de poeta jamás será un completo matemático”. Podemos afirmar que:

a.  Este pensamiento es una defensa de la poesía.

b. Este pensamiento es una defensa de la matemática.

c. Los matemáticos no tienen porqué saber poesía.

d. Los poetas tienen que estudiar matemáticas para darle sentido a sus escritos.

INVESTIGUEN:

1. Biografía de Pablo Neruda.

2.Subrayen en el poema las palabras que tengan significado matemático. Hagan un listado con esas palabras y sus  significados en matemáticas.

3.Supónganse que ustedes han sido llamados para diseñar la carátula de una serie de lecturas como la anterior.  Hagan el dibujo que ustedes propondrían para ilustrarlas. Expliquen porque eligieron esa representación.

2° SECUNDARIA

TRABAJO PRÁCTICO PARA 2° SECUNDARIAS 51 Y 115

¡¡¡Lean, diviértanse y resuelvan!!!

Los Cocodrilitos

Cocodrilos Cantando
Canciones de Cuna
Consolando Crias

Usa las 4 claves para resolver este problema:

• El número de cocodrilitos es un número impar.
• El cantante está acurrucando a uno. La suma del resto de cocodrilitos es un múltiplo de 4.
• El número de cocodrilitos es mayor a 3 y menor a 13.
• El número total de cocodrilitos es un multiplo de 3.
•                                                                                         ¿Cuántos cocodrilitos tenemos?

La Lora

Lora Leyendo

Largos Libros

Líricos Lentamente

Usa las 4 claves para resolver este problema:

• La lora se llevó 11 libros para leer en sus vacaciones.
• La lora lee 1/4 de libro por noche de lunes a viernes.
• Los sábados y domingos tiene más tiempo y lee 3/8 de libro cada día.
• La tercer semana la lora se enfermó (de lunes a domingo) y sólo pudo leer la mitad de lo acostumbrado.

¿Cuántos días tardará en leer todos los libros?

Las  mariposas     

Maravillosas Mariposas

Manchadas Mordiendo

                          Moras Maduras

Usa las 5 claves para resolver este problema:

• Hay más arañas que insectos en el dibujo.
• El número de arañas y el de insectos son ambos impares.
• Si sumamos las arañas y los insectos tendremos un total de 12 invertebrados.
• Las arañas tienen 2 patas más que los insectos.
• Si sumamos todas las patas de las arañas y le restamos 26, tendremos el número de patas de los insectos.

¿Cuántos insectos tenemos?

Los Perezosos

Perezosos Perchados

Pidiendo Permiso

Para Pasar

Usa las 5 claves para resolver este problema:

• La suma de los ojos de los perezosos es un número par, pero el número de perezosos es impar.
• El número de perezosos no es un número primo.
• El número de perezosos es menor a 10.
• El número de perezosos es un múltiplo de 3.
• El resultado de la suma de las patas de los perezosos es mayor que 30                                .¿Cuántos perezosos tenemos?

Los Tiburones

Temibles Ttiburones
Tomando Tazas de Té
Tras la Tempestad

Usa las 4 claves para resolver este problema:

• En una reunión de tiburones sólo había 13 tazas de té.
• Todos los tiburones que tomaron té antes de la tempestad, tomaron 3 tazas de té cada uno.
• Todos los tiburones que tomaron té tras la tempestad tomaron 2 tazas de té cada uno.
• Solo un tiburón tomó té antes y después de la tormenta.

¿Cuántos tiburones tomaron té?                            Esta pregunta tiene al menos 2 respuestas correctas.

Aritmética Modular

Un resúmen sobre la aritmética modular

Hola!!

Acá lo prometido!!

Hagan click en el siguiente link:

http://dl.dropbox.com/u/99885460/Los%20n%C3%BAmeros%20con%20los%20que%20trabajamos%20habitualmente%20se%20extienden%20sin%20fin.pdf

En el siguiente link, ejemplos resueltos:

http://dl.dropbox.com/u/99885460/RESUELTOS%20ARITM%C3%89TICA.pdf

Y en éste...ejercicios simples para que resuelvan:

http://dl.dropbox.com/u/99885460/ejercicios%20en%20m%C3%B3dulo%205.pdf

y ya que estamos, otro apunte:

http://dl.dropbox.com/u/99885460/ARITMETICA%20MODULAR%20alumnos.pdf

Saludos!!!

                                        La Profe

Una yapa:

CÓDIGOS AGRUPACIÓN ASTRONÓMICA DE HUESCA, AGOSTO DE 2009

Codigos- Aritmetica Modular from Universidad Nacional de La Matanza