UNLaM
Matemática Discreta
domingo, 11 de noviembre de 2012
martes, 4 de septiembre de 2012
FUNCIONES: LINEAL & CUADRÁTICA
Función cuadrática y función lineal
Lo prometido!!
Dada la parábola y =x^2 - kx +4:
a) Determinar los valores reales de k para que el vértice pertenezca al eje x.
b) Determinar el valor real de k para que pase por
c) Representar las 3 parábolas en un mismo gráfico y calcula las coordenadas del punto de intersección de las curvas con la recta y=4
a) Trabajamos con el discriminante, ya que si el vértice pertenece al eje x, es a la vez, raíz de la ecuación cuadrática asociada, y por lo tanto es una raíz doble, así que
b^2- 4.a.c=0
Reemplazando obtenemos k=4 ó k=-4
b) Si debe pasar por el punto P(3;-5), significa que cuando x toma el valor 3, la " cuenta" de esa ecuación dará -5 (y), entonces:
y =x^2 - kx +4
-5 =3^2 - 3x +4
operando obtenemos k=6
c)Uno de los puntos de intersección de cada una de las parábolas con y= 4, será (0,4) ya que es la ordenada al origen de cada una de las funciones. El otro lo obtenemos así:
Igualamos la cuadrática y la lineal:
Para k=4: 4 =x^2 - 4x +4, resolvemos y obtenemos x=0 o x=4.
Para x=0, y= 4
Para x=4, y=4
Entonces los puntos de intersección en este caso son (0,4) y (4,4).
De la misma forma obtenemos los puntos de intersección de las otras dos parábolas con la recta.
Miremos todo eso en el gráfico:
Espero hayan entendido la explicación!!
Saludos !!!!!
La Profe
miércoles, 29 de agosto de 2012
SISTEMA DE ECUACIONES
SISTEMAS DE ECUACIONES
Hola a todos!!
Hoy les dejo unas páginas para que puedan practicar un poquito más..
y para que recuerden como se resuelven los sistemas..
Saludos!!
La Profe
martes, 28 de agosto de 2012
RESPUESTAS EJERCICIOS INGRESO
UNLaM
Lo prometido...las respuestas de Matemática, ingreso de ingeniería.
Saludos!!
La Profe
viernes, 24 de agosto de 2012
UNLaM
Ingreso Ingeniería
UNLaM
Hola!!
En los siguientes links, algunas páginas para que repasen lo que estamos viendo.
Saludos!!
La Profe
MATEMÁTICA Y LITERATURA
POESÍA MATEMÁTICA...
que abrasa mi corazón
O LA MATEMÁTICA ES UNA POESÍA...
Hoy...algo distinto..para distendernos un poco...
Sino, leamos la siguiente declaración matemáticamente amorosa:
DECLARACIÓN MATEMÁTICA
Niña, me postro a tus pies
para pintar la pasión
como dos y una son tres.
Escucha mi amor vehemente,
pues des que te he conocido
continuamente ha crecido
en progresión ascendente.
Que me quieras solicito
y ésta no mires esquiva:
si es mi beldad negativa
mi cariño es infinito.
Multiplicamini, etcetra,
dijo Dios al padre Adán,
y yo quiero ese refrán
seguir al pie de la letra.
Mas no fundo mi porfía
en una incógnita unión
que es regla de aligación
o de falsa compañía.
No a fe, y en buen testimonio
del fin que mi amor barrunta
quiero la regla conjunta
que se llama matrimonio.
Si no sumo grandes bienes
tengo un caudal de razones;
piensa que no hay proporciones
cual la que en tu mano tienes.
Y si bien no da la ciencia
para pavos ni perdices,
ni tengo bienes raíces
ni he de elevarme a potencia.
Sabré, aunque el mundo lo note
prestar a interés compuesto,
y solamente con esto
multiplicaré tu dote.
Espero respuesta el martes.
Madrid, tantos... sin errata.
Tuyo,
Pascasio.
Postdata:
Si me desprecias me partes.
Por copia
M. Ossorio y Bernard
M. Ossorio y Bernard
Hermosa.....no??
Les dejo unas cuantas más...para disfrutar!!
Y espero sus comentarios, y por que no, alguna prosa escrita por uds!!!
Saludos!!
La Profe
PD: Esto es un homenaje a mi queridísima amiga y mentora, Profesora Irene Zapico.
Siempre en mi corazón IRE!!
domingo, 19 de agosto de 2012
MOOC
UNA NUEVA FORMA DE APRENDER Y COMPARTIR.
Hola!
Hoy dejo las mates un poquito de lado, para adentrarnos en las nuevas formas de aprendizaje: LOS MOOC.
En el siguiente link, nos ponemos en contactos con ellos:
y un adelanto, que también encontrarán el el link:
Hasta la próxima!!!
La Profe.
martes, 14 de agosto de 2012
ADMISIÓN INGENIERÍA 2013
UNLaM
Hola gente!!! Esta es una entrada del verano, que republico para que puedan ejercitar!!
FUNCIONES
Hola!
Les dejo la ejercitación extra de los temas vistos la semana pasada.
Nos vemos!
Saludos
La Profe
En el siguiente link los ejercicios!!
miércoles, 8 de agosto de 2012
ECUACIONES E INECUACIONES
UNLaM
Admisión de Ingeniería
Ecuaciones e inecuaciones
Hola!!!
Espero estén disfrutando de este finde largo....y que también estén repasando todo lo visto en clase...para lograr el objetivo final...ingresar a la Uni!!
Hoy les dejo ejercicios diversos sobre ecuaciones e inecuaciones, para que resuelvan.
Si se les presenta alguna duda, en clase se aclarará!!
Besos
La Profe
Hagan click en el siguiente enlace....y tendrán el archivo:
martes, 7 de agosto de 2012
POLINOMIOS: FACTORIZACIÓN
UNLaM
Curso de admisión de Ingeniería
Factorización de polinomios y operaciones con expresiones fraccionarias.
Hola!!
Acá les dejo dos links sobre lo visto la semana pasada:
Saludos!!
La Profe
BIENVENIDA
UNLaM
Curso de admisión de Ingeniería.
Bienvenidos futuros ingenieros, desarrolladores web, técnicos en sonido y grabación, y todos los pertenecientes a este gran departamento de nuestra universidad que es el de Ingeniería.
Espero poder ayudarlos en este tiempo, para que logren su objetivo: ingresar a la uni!!
En breve publicaré ejercicios resueltos, tutoriales y todo lo que sea de utilidad para uds.
También pueden decirme uds que necesitan o que les gustaría leer....será de gran ayuda para mi y para lograr juntos el cumplimiento de su sueño.
Saludos..
Nos vemos en clase!!
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La Profe
viernes, 20 de julio de 2012
DÍA DEL AMIGO2
Y ACÁ NUEVAMENTE MI AMIGA, LA MATEMÁTICA, PARA DESEARLES HOY UN DÍA ESPECIAL...LLENO DE ABRAZOS, BESOS Y ...♥♥♥♥
¡¡¡FELICIDADES!!!!
DÍA DEL AMIGO
HOLA!!!!!!!!!!
HOY DEJAMOS UN POQUITO DE LADO ( SÓLO UN POQUITO!!) A LA MATEMÁTICA, Y COMPARTO CON TODOS UDS ESTE VIDEO..
LA PROFE
HOY DEJAMOS UN POQUITO DE LADO ( SÓLO UN POQUITO!!) A LA MATEMÁTICA, Y COMPARTO CON TODOS UDS ESTE VIDEO..
¡¡FELIZ DÍA A TODOS.!!
LA PROFE
martes, 10 de julio de 2012
Para todos...
Hola!!
Es mi deseo desde el corazón que les vaya super bien en estos parciales a todos!!
A mis alumnos...a mi hijo Emi ..a mis hijas Vale y Eli..
Sé que todos se esfuerzan y recibirán por ende su premio!!!
Recuerden siempre a esta profe que los quiere!!
Es mi deseo desde el corazón que les vaya super bien en estos parciales a todos!!
A mis alumnos...a mi hijo Emi ..a mis hijas Vale y Eli..
Sé que todos se esfuerzan y recibirán por ende su premio!!!
Recuerden siempre a esta profe que los quiere!!
La Profe
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| CORAZÓN DIBUJADO CON EL PROGRAMA MATHEMATICA |
GRAFOS EJEMPLOS VARIOS
UNLaM
Y más grafos....
1) ¿Es posible Construir un Grafo 3-regular con 5 Vértices?
No puede ser ya que si es 3 regular, cada vértice tendrá grado 3, y si tuviera
5 vértices, la suma de los vértices da 15, y esto es imposible, ya que la suma
de los grados de un grafo siempre es par.
2) ¿Es posible Construir un Grafo completo con 25 aristas?
No es posible.
Un grafo completo de n vértices tiene n.(n - 1)/ 2 aristas.
n(n-1)/20= 50
n(n-1)=100
Resolviendo nos queda una cuadrática:
n^2-n-100= 0
Cuyas soluciones no son enteras...por ende no existe un grafo completo
con 50 aristas.
.jpg) |
| GRAFOS COMPLETOS DE 1 A 12 VÉRTICES |
lunes, 9 de julio de 2012
Resúmen grafos
UNLaM
Grafos...algunos conceptos.
Un grafo es
una terna G=(V,A, f), donde V es un conjunto finito no vacío (a cuyos elementos
llamaremos vértices) y A es una familia finita de pares no ordenados de
vértices de V (a cuyos elementos llamaremos aristas o arcos) y f la función de incidencia entre vértices y aristas.
Un grafo simple : el que no tiene aristas paralelas ni lazos o bucles.
Dos vértices son adyacentes si
son extremos de una misma arista.
Dos aristas son adyacentes si tienen un
extremo común.
Un vértice y una arista son incidentes si el
vértice es extremo de la arista.
Un vértice es aislado si no tiene otros vértices
adyacentes.
Un grafo
completo es un grafo simple en el que todo par de vértices está unido
por una arista. (Se representa con Kn al grafo
completo de n vértices). La relación entre cantidad de vértices y cantidad de aristas es la siguiente: Si n es el cardinal de vértices y a el cardinal de aristas, se cumple lo siguiente:
a= n.(n-1)/2
Un grafo G se
llama bipartido si existe una partición de V, V=X
È Y, tal
que cada arista de G une un vértice de X con otro de Y.
Se designa por Kr,s al grafo
bipartido completo en el que hay una arista que conecta cada vértice de X con
cada vértice de Y. En este grafo V= r+s y A= r.s (representando V a la cantidad de vértices y A la cantidad de aristas.)
Dos grafos simples
G=(V,A) y G’=(V’,A’) son isomorfos si existe una biyección
f: que conserva la adyacencia.. ( número de vértices y aristas coinciden, tienen los mismos recorridos, la misma adyacencia y vecindad, sus matrices de adyacencias, no son necesarimente iguales, pero el valor del determinante de cada una es igual).
GRADO
Se llama grado de un vértice v al número de aristas que lo tienen como extremo, (cada bucle se cuenta, por tanto, dos veces). Se designa por g(v)
Un grafo regular es un grafo simple cuyos vértices tienen todos el mismo grado.
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| La relación entre los grados y el número de aristas en G . |
Es decir, que siempre la suma de todos los grados de un grafo es un número par.
CAMINOS Y CONEXIÓN
Un camino es una sucesión de vértices tal que de cada uno de sus vértices existe una arista hacia el vértice siguiente.
La longitud de un camino es el número de aristas que usa dicho camino, contando aristas recorridas varias veces el mismo número de veces que las recorramos
Un camino simple es aquel en que todas las aristas del camino son diferentes.
Un Ciclo (o circuito) es un camino que empieza y acaba en el mismo vértice. Los ciclos de longitud 1 son los bucles.
Un ciclo simple es un ciclo que tiene como longitud al menos 3 y en el que el vértice del comienzo sólo aparece una vez más y como vértice final, y los demás sólo aparecen una vez.
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Un grafo es conexo si para cada par de vértices u y v existe un camino de u a v. Si G es un grafo no conexo (o disconexo), cada uno de sus subgrafos conexos maximales se llama componente conexa de G.
Un vértice v se llama ISTMO de G si el grafo G-{v}no es conexo.
Conectividad: es el número de vértices que debemos sacar para que el graf deje de ser conexo.
Una arista a de un grafo G se llama PUENTE si G-{a} no es conexo.
Conjunto desconectante: es el conjunto de aristas que debemos sacar para que el grafo deje de ser conexo.
RECORRIDOS EN UN GRAFO
Un camino euleriano en un grafo es un camino que contiene a todas las aristas del grafo exactamente una vez. Este recorrido puede repetir vértices .Un grafo es euleriano si contiene un camino euleriano cerrado.
Teorema: Un grafo conexo G es euleriano Û Todos los vértices de G tienen grado par.
Consecuencia: Un grafo conexo G tiene un camino euleriano no cerrado Û G tiene, exactamente, dos vértices de grado impar.
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 es un ciclo euleriano, |
Propiedad: Un grafo bipartido G=(V1 È V2 , A) con ½ V1½ ¹ ½ V2½ no es hamiltoniano.
Teorema: Sea G un grafo simple de n vértices. Si para todo par de vértices x e y no adyacentes se cumple que g(x)+g (y) ³ n , entonces G es hamiltoniano.
Teorema: Si G es un grafo hamiltoniano entonces, para todo SÌ V se cumple que el número de componentes conexas de G - S, es menor o igual que ½ S½ .
Todos los sólidos platónicos, (tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.) considerados como grafos, son hamiltonianos.
Todos los grafos completos son hamiltonianos.
Un grafo con n vértices (n > 3) es hamiltoniano si cada vértice tiene grado mayor o igual a n/2.
Un grafo con n vértices (n > 3) es hamiltoniano si la suma de los grados de 2 vértices no adyacentes es mayor o igual que n.
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| CICLO HAMILTONIANO |
ÁRBOLES
Un árbol es un grafo conexo y sin ciclos.
Propiedades
1) Para todo par de vértices x e y existe un único camino de x a y.
2) Todas las aristas de G son puentes.
3) ½ A½ = n - 1. , siendo n el cardinal de Vértices.
4) Todo árbol tiene al menos dos hojas (vértices de grado uno).
5)
Un bosque es un grafo acíclico. Si tiene k componentes conexas entonces el nº de aristas es n- k.
Todo grafo conexo posee un árbol generador.
Un árbol con raíz es un árbol T con un vértice distinguido al que se denomina raíz. Este vértice se representa encima de los restantes, que se colocan por niveles según su distancia a la raíz. Nivel de la raíz: 0.
Se llama altura (o profundidad) de un árbol con raíz a la máxima distancia de un vértice a la raíz.Es decir es el último nivel.
Para cada vértice u, que no sea la raíz, se llama padre de u al único vértice adyacente a u que se encuentra en el camino de u a la raíz. Se llaman hijos de u a los restantes vértices adyacentes, (que se encuentran por debajo de u). Los vértices sin hijos son las hojas del árbol, y los vértices que no son hojas ni raíz se denominan vértices interiores.
Un árbol n-ario es un árbol con raíz en el que cada padre tiene, a lo sumo, n hijos.
Propiedades: 1) El número de hojas de un árbol m-ario es, a lo más, mh.
2) La altura de un árbol m-ario de l hojas es, al menos, ë log m lû
Árbol balanceado: las hojas se encuentran en el último nivel y/o en el anteúltimo.
Árbol n-ario regular: es un árbol con raíz en el que cada padre tiene exactamente n hijos.
Árbol n-ario regular pleno o completo: es un árbol donde cada padre tiene exactamente n hijos ( salvo las hojas) y todas las hojas se encuentran en el último nivel.
Árbol binario: todos los padres tienen dos hijos. Son los que se llaman también operacionales.
Recorridos: Podemos recorrerlos de tres formas: preorden, in orden o post orden.
A cada uno le corresponde la siguiente notación:
Preorden: Notación polaca: +3 4 = 3+4. Decimos al recorrerlo padre-hijo-hijo. Su recorrido es: Raíz- Subárbol izquierdo- Saubárbol derecho, todo en preorden.
In orden: Notación usual 3+4= 3+4. Lo recorremos así hijo-padre-hijo. Recorrido es : Subárbol izquierdo- Raíz-Subárbol derecho.
Este tipo de notación no nos da la caracterización de un árbol únicamente, por lo cual no nos sirve para recorrerlos.
Postorden: Notación polaca inversa 3 4 + = 3+4. Decimos al recorrerlo -hijo-hijo-padre Su recorrido es: Subárbol izquierdo- Subárbol derecho- raíz todo en postorden.
Ejemplos:
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Inorden: GDBHEIACJKF
Preorden: ABDGEHICFJK
Postorden: GDHIEBKJFCA
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PREORDEN: * - + A B - * C D / E F A
ENTREORDEN: A + B – C * D – E / F * A
POSTORDEN: A B + C D * E F / - - A *
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En preorden:
En entreorden:
En postorden:
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viernes, 6 de julio de 2012
Grafos isomorfos
UNLaM
Grafos isomorfos
Hola!!
Les dejo varios ejemplos de grafos que son isomorfos y otros que no lo son.
Y otro concepto:
Una CLIQUE en un grafo, es un conjunto de vértices, adyacentes dos a dos. En el grafo de la izquierda, los vértices 1, 2 y 5 forman una clique porque cada uno tiene una arista que lo une a los otros. En cambio, los vértices 2, 3 y 4, no la forman, dado que 2 y 4 no son adyacentes.
Una CLIQUE es un subgrafo completo.
y ahora sí....veamos los grafos...
!!Una imagen vale más que mil palabras !!
La Profe
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